ФУРЬЕ РЯД

Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф. р. имеет вид

где a₀, a_n, b_n (n ≥ 1) — Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2π-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций (См. Ортогональная система функций), а именно — по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)

обращают в минимум интеграл

где t_n(x) — произвольный тригонометрический полином порядка ≤ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом

так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см.Приближение и интерполирование функций).

Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье a_n, b_n при n → ∞ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд ФУРЬЕ РЯД фото №5

Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел a_n, b_n со сходящимся рядом ФУРЬЕ РЯД фото №7

Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и её модуль непрерывности ω(δ, f) удовлетворяет условию ФУРЬЕ РЯД фото №8

Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x₀ зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x₀ функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x₀ — 0) и f (x₀ + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x₀, то он сходится к значению ¹/₂{f (x₀ — 0) + f (x₀ + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x).

Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства L^p (—π, π) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые «дефекты сходимости» породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x) сумма Фейера

при n → ∞ равномерно сходятся к f (x) (Л. Фейер, 1904).

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965.

Смотреть больше слов в «Большой Советской энциклопедии»

ФУРЬЕ ФРАНСУА МАРИ ШАРЛЬ →← ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Смотреть что такое ФУРЬЕ РЯД в других словарях:

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, служащий для разложения периодич. функции на гармонич. компоненты. Если функция f(x) имеет период 2Т, то её Ф. р. ... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

функции f(х)по ортонормированной на промежутке ( а, b )системе функций -ряд коэффициенты к-рого определяются по формулам и наз. коэффициентами Фу... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

по ортогональным многочленам- ряд вида где многочлены { Р п (х)} ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

ряд функций f(x) относительно ортонормированной системы функций: φ1(х), φ2(x),..., φк(x),...,(1) заданных на отрезке [а, b], есть ряд где коэф. Фу... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

почти периодической функции - ряд вида где - Фуръе показатели, а п - Фурье коэффициенты почти периодич. функции f(x). Ряд (*) соответствует любой... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ ряд - тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке ФУРЬЕ Шарль (1772-1837) - французский социалист. Подверг критике современный строй "цивилизации" и разработал проект плана будущего общества - строя "гармонии", в котором должны развернуться все человеческие способности. Первичной ячейкой нового общества считал "фалангу", сочетающую промышленное и сельскохозяйственное производство. Высказывал представления о будущем обществе (труд как потребность и наслаждение, уничтожение противоположности между умственным и физическим трудом и др.). Фурье считал, что сохранятся частная собственность, классы, нетрудовой доход. Новое общество утвердится, по Фурье, путем мирной пропаганды социалистических идей. Сочинения: "Теория четырех движений и всеобщих судеб" (1808), "Теория всемирного единства" (1822), "Новый хозяйственный социетарный мир" (1829). Последователями Фурье были В. Консидеран, петрашевцы и др.<br>... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

- тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной наотрезке ФУРЬЕ Шарль (1772-1837) - французский социалист. Подверг критикесовременный строй ""цивилизации"" и разработал проект плана будущегообщества - строя ""гармонии"", в котором должны развернуться всечеловеческие способности. Первичной ячейкой нового общества считал""фалангу"", сочетающую промышленное и сельскохозяйственное производство.Высказывал представления о будущем обществе (труд как потребность инаслаждение, уничтожение противоположности между умственным и физическимтрудом и др.). Фурье считал, что сохранятся частная собственность, классы,нетрудовой доход. Новое общество утвердится, по Фурье, путем мирнойпропаганды социалистических идей. Сочинения: ""Теория четырех движений ивсеобщих судеб"" (1808), ""Теория всемирного единства"" (1822), ""Новыйхозяйственный социетарный мир"" (1829). Последователями Фурье были В.Консидеран, петрашевцы и др.... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

тригонометрический ряд, коэф. к-рого для заданной на отрезке [-ПИ, ПИ] функции f(x) вычисляются по ф-лам Эйлера - Фурье: Частные суммы Ф. р.- важный ап... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ функции f(x) вычисляются по формулам Эйлера - Фурье:k=1, 2, ...Частные суммы ряда Фурье - важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других ученых.<br><br><br>... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД , тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ функции f(x) вычисляются по формулам Эйлера - Фурье:k=1,2,...Частные суммы ряда Фурье - важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других ученых.... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ функции f(x) вычисляются по формулам Эйлера - Фурье:k=1,2,...Частные суммы ряда Фурье - важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других ученых.... смотреть

ФУРЬЕ РЯД

Смотреть что такое ФУРЬЕ РЯД в других словарях:

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД

Рекомендуем посмотреть:

MIGRATION, SELECTIVE

MONOTONICALLY INCREASING FORMULA

PRIOR JUDGEMENT

VENTILÁTOROVÝ AGREGÁT

VOL AU VENT

ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ

ЛЕТАТЬ МУХОЙ

НА ВЫСТРЕЛ

ПНЕВМОЦЕФАЛИЯ

ПОДКУРКА